Standardavvik: formel, beregning og anvendelse

Standardavvik er et sentralt begrep innen statistikk og forskning, som gir innsikt i hvor mye variasjon eller spredning det er fra gjennomsnittet i et sett med data.

I denne artikkelen ser vi nøyere på hva standardavvik faktisk betyr, utforsker den matematiske formelen bak konseptet, og gir praktiske eksempler for å illustrere dets betydning og anvendelse. Enten det er i finansanalyse, kvalitetskontroll, eller til og med i hverdagslige situasjoner, er forståelsen av standardavvik avgjørende for å tolke og anvende data på en meningsfull måte.

Se også vår kalkulator for utregning av standardavvik

Hva er standardavvik

Standardavvik er et statistisk mål som brukes for å bestemme graden av spredning i et datasett. Det kvantifiserer hvor langt individuelle datapunkter typisk avviker fra gjennomsnittet (middelverdien) av datasettet.

Når standardavviket er lavt, ligger datapunktene tett på gjennomsnittet, noe som indikerer liten spredning. På den annen side, et høyt standardavvik indikerer en større spredning av datapunkter fra gjennomsnittet.

Dette gjør standardavvik til et essensielt verktøy i mange fagfelt. For eksempel, i finansbransjen kan standardavvik hjelpe investeringsanalytikere med å forstå risikoprofilen til forskjellige verdipapirer. En aksje med høyt standardavvik har større prisvolatilitet, noe som betyr høyere risiko og potensielt høyere avkastning.

På samme måte bruker forskere standardavvik for å vurdere nøyaktigheten i eksperimentelle data. Et lite standardavvik indikerer at de fleste dataene er konsentrert rundt gjennomsnittet, noe som gir større tillit til eksperimentets resultater. Dette viser hvordan standardavvik hjelper fagfolk over ulike disipliner med å gjøre informerte beslutninger basert på dataenes konsistens og spredning.

Formel for utregning av standardavvik

Standardavviket ($ \sigma $) beregnes ved hjelp av følgende formel:

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \mu)^2}{n}} $$

– $ \sigma $: Dette er standardavviket, målingen av spredningen eller variabiliteten i datasettet.

– $ n $: Antall observasjoner i datasettet.

– $ x_i $: Dette representerer hvert individuelle datapunkt i datasettet. $ x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n $ er de forskjellige datapunktene.

– $ \mu $: Dette er gjennomsnittet (middelverdien) av datasettet. Det beregnes ved å legge sammen alle datapunktene og dele summen med antall datapunkter: $ \mu = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} $.

Formelen beregner standardavviket ved å gjøre følgende:

1. For hvert datapunkt $ x_i $, finnes differansen mellom datapunktet og gjennomsnittet ($ x_i – \mu $).

2. Kvadrerer hver av disse differansene ($ x_i – \mu $)^2.

3. Summerer alle de kvadrerte differansene $ \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)^2 $.

4. Deler den totale summen av kvadrerte differanser med antall observasjoner i datasettet ($ n $).

5. Tar kvadratroten av resultatet for å få standardavviket ($ \sigma $).

Eksempler på utregning av standardavvik

Her har vi laget to eksempel på hvordan standardavvik kan benyttes til praktiske formål.

Eksempel: Kvalitetskontroll i produksjon av skruer

Anta at en fabrikk produserer skruer og ønsker å sikre konsistent størrelse. Her er lengdene (i mm) på seks tilfeldig valgte skruer:

Skrue 1: 50 mm
Skrue 2: 49.8 mm
Skrue 3: 50.2 mm
Skrue 4: 50.1 mm
Skrue 5: 49.9 mm
Skrue 6: 50 mm

Finn gjennomsnittet:

$Gjennomsnittlig lengde = \frac{50 + 49.8 + 50.2 + 50.1 + 49.9 + 50}{6} = 50 mm$

Beregn avviket for hver verdi:

Skrue 1: $50 - 50 = 0$
Skrue 2: $49.8 - 50 = - 0.2$
Skrue 3: $50.2 - 50 = 0.2$
Skrue 4: $50.1 - 50 = 0.1$
Skrue 5: $49.9 - 50 = - 0.1$
Skrue 6: $50 - 50 = 0$

Kvadrer hvert avvik:

Skrue 1: $0^{2} = 0$
Skrue 2: $(- 0.2)^{2} = 0.04$
Skrue 3: $0. 2^{2} = 0.04$
Skrue 4: $0. 1^{2} = 0.01$
Skrue 5: $(- 0.1)^{2} = 0.01$
Skrue 6: $0^{2} = 0$

Finn gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene:

$\frac{0 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.01 + 0}{6} = 0.0167$

Ta kvadratroten av dette gjennomsnittet:

$Standardavvik = \sqrt{0.0167} \approx 0.129 mm$

Dette lave standardavviket på 0.129 mm indikerer at skruene produseres med høy grad av størrelseskonsistens, noe som er viktig for kvalitetskontroll i produksjonsprosessen.

Eksempel 2: Beregning av standardavvik for månedlig porteføljeavkastning

Anta at en investeringsportefølje har hatt følgende månedlige avkastningsrater over det siste halvåret:

Januar: +3.5%
Februar: -2.0%
Mars: +4.0%
April: +1.5%
Mai: -1.0%
Juni: +2.5%

Først beregner vi gjennomsnittlig månedlig avkastning:

$Gjennomsnittlig avkastning = \frac{3.5 - 2.0 + 4.0 + 1.5 - 1.0 + 2.5}{6} = \frac{8.5}{6} \approx 1.42 %$

Deretter beregner vi avviket for hver måneds avkastning fra gjennomsnittet:

Januar: $3.5 - 1.42 = 2.08 %$
Februar: $- 2.0 - 1.42 = - 3.42 %$
Mars: $4.0 - 1.42 = 2.58 %$
April: $1.5 - 1.42 = 0.08 %$
Mai: $- 1.0 - 1.42 = - 2.42 %$
Juni: $2.5 - 1.42 = 1.08 %$

Kvadrerer disse avvikene:

Januar: $2.0 8^{2} = 4.3264$
Februar: $- 3.4 2^{2} = 11.6964$
Mars: $2.5 8^{2} = 6.6564$
April: $0.0 8^{2} = 0.0064$
Mai: $- 2.4 2^{2} = 5.8564$
Juni: $1.0 8^{2} = 1.1664$

Finn summen av disse kvadrerte avvikene og deretter gjennomsnittet:

$Sum av kvadrerte avvik = 4.3264 + 11.6964 + 6.6564 + 0.0064 + 5.8564 + 1.1664 = 29.7084$

$Gjennomsnitt av kvadrerte avvik = \frac{29.7084}{6} \approx 4.9514$

Til slutt, ta kvadratroten av gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene for å finne standardavviket:

$Standardavvik = \sqrt{4.9514} \approx 2.23 %$

Dette standardavviket gir en indikasjon på volatiliteten i porteføljens avkastning, som er en viktig målestokk for risiko i finans.

Når brukes standardavvik

Standardavvik blir mye brukt i mange forskjellige sammenhenger, spesielt i felt som krever kvantitativ analyse. Det er spesielt relevant i statistikk, forskning, finans, ingeniørvitenskap, og kvalitetskontroll.

Her er noen eksempler på hvordan standardavvik brukes i ulike sammenhenger:

Forskning og Vitenskap

I vitenskapelig forskning brukes standardavvik for å vurdere variasjonen i en mengde data. For eksempel, i medisinsk forskning kan standardavviket brukes til å analysere variasjonen i blodtrykksmålinger blant ulike individer. Forskere kan bruke denne informasjonen til å forstå hvor stor den naturlige variasjonen i blodtrykk er i en gitt befolkning, noe som er viktig for å tolke individuelle målinger riktig.

Finans og Investering

I finanssektoren brukes standardavvik til å måle risikoen forbundet med en investering. Høyere standardavvik indikerer høyere volatilitet og dermed potensielt større risiko. Dette er viktig for å vurdere forholdet mellom risiko og avkastning for ulike finansielle instrumenter, som aksjer, obligasjoner eller investeringsfond.

Kvalitetskontroll og Produksjon

I industri og produksjon brukes standardavvik til å måle konsistensen og kvaliteten på produkter. For eksempel, i en fabrikk som produserer skruer, kan standardavviket brukes til å vurdere hvor ensartet dimensjonene på skruene er. Et lavt standardavvik indikerer at skruene har veldig like dimensjoner, noe som er et tegn på høy produktkvalitet.

Utdanning

I utdanningssektoren kan standardavvik brukes til å analysere variasjonen i studentprestasjoner, som i eksempelet med eksamensresultater. Dette kan hjelpe lærere og utdanningsinstitusjoner å identifisere behovet for endringer i undervisningsmetoder eller tilleggsstøtte for elever.

Markedsføring og Forbrukeradferd

Standardavvik blir også brukt i markedsføringsanalyser, for eksempel for å forstå variasjonen i forbrukerpreferanser eller kjøpsatferd. Dette kan gi innsikt i hvor bredt et produkt eller en tjeneste appellerer til forskjellige kundesegmenter.

Hver av disse bruksområdene benytter standardavvik for å kvantifisere variasjon eller spredning i data, noe som er kritisk for å ta informerte beslutninger basert på denne dataen.